KATA PENGANTAR
Puji
syukur penulis panjatkan ke Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan
rahmat-Nya, serta doa dan motivasi dari berbagai pihak sehingga pada akhirnya
makalah yang disusun terselesaikan.Dengan membuat makalah tentang “Aljabar & Boolean”dapat
terselesaikan dengan sebaik-baiknya.Saya mengucapkan terima kasih kepada pihak
yang telah membantu penyelesaian penulisan ini,
Terutama kepada teman – teman saya sehingga
makalahtentang“Aljabar & Boolean”ini
terselesaikan. Serta Semua pihak yang telah membantu ataupun memberikan
dorongan baik moril maupun materil yang dibutuhkan dalam menyelesaikan
penulisan ini. Dalam penulisan ini kami menyadari bahwa penulisan ini masih
jauh dari kesempurnaan dan banyak kekurangan, baik dalam isi maupun cara penyajiannya,
karena keterbatasan ilmu dan pengetahuaan kami. Oleh karena itu, saya
mengharapkan saran dan kritik yang membangun bagi penyempurnaan penulisan ini.
DAFTAR ISI
KATA
PENGANTAR....................................................................................... I
DAFTAR ISI................................................................................................... II
BAB I
PENDAHULUAN.............................................................................. 1
1.1LatarBelakang..................................................................................... 1
1.2RumusanMasalah................................................................................ 1
BAB II
PEMBAHASAN................................................................................... 2
2.1 PengertianAljabar Boolean................................................................. 2
2.2Operasi LogikaDasardalamAljabar Boolean.......................................... 2
·
OperasiLogika NOT........................................................................................................ 2
·
OperasiLogika AND....................................................................................................... 3
·
OperasiLogika OR.......................................................................................................... 3
·
OperasiLogika EXNOR.................................................................................................... 4
BAB IIIHukum-HukumAljabar
Boolean........................................................ 6
3.1Aljabar Boolean.................................................................................. 6
3.2Aljabar Boolean DuaNilai..................................................................... 7
3.3 Ekspresi Boolean..................................................................................... 9
DAFTAR PUSTAKA........................................................................................ 10
BAB
I
PENDAHULUAN
1.1 Latarbelakang
Aljabar boole pertama kali dikemukakan oleh seseorang matematikawan
inggris, geogre boole pada tahun 1854. Aljabarbooleanadalahcabangilmumatematika
yang diperlukanuntukmempelajaridesainlogikadarisuatusistem digital yang
merupakanoperasiaritmatikpadabilanganboolean (bilangan yang hanyamengenal 2
keadaanyaitu False/True, Yes/No, 1/0) ataubisadisebutbilanganbiner. Pada tahun 1938 clamde shanmon memperlihatkan penggunaan aljabar boole
untuk merancang rangkaian sirkuit yang menerima masukan 0 dan 1 dan
menghasilkan keluaran juga 0 dan 1 aljabar boole telah menjadi dasar teknologi
komputer digital.
1. 2 RumusanMasalah
1. MenjelaskantentangAljabar
Boolean
2. Apasaja
hokum-hukumAljabar Boolean
BAB
II
PEMBAHASAN
2.1
PengertianAljabar
Boolean
Aljabar
Boolean merupakanrumusanmatematikauntukmenjelaskansebuahhubunganlogikaantarafungsidanpensaklaran
digital.Aljabar Boolean memiliki 2 macamnilailogika.Hanyabilanganbiner yang
terdiriatasangka 0 dan 1 maupunpernyataanrendahdantinggi.
Suatufungsilogikaatauoperasilogika
yang dimaksudpadaAljabar Boolean
merupakansuatukombinasiVariabelBinersepertimisalnya yang terdapatpadamasukandankeluarandarisuaturangkaian
digital yang dapatditunjukkanbahwa di dalamAljabar Boolean
semuahubunganlogikaantarvariabelbinerdapatdijelaskanoleh 3 operasilogikadasar,
yaitu :
- Operasi NOT
- Operasi AND
- Operasi OR
Operasitersbutdijabarkandalam
3 bentuk, yaitu :
- Tabelfungsi
(tabelkebenaran) yang
menunjukkankeadaansemuavariabelmasukandankeluaranuntuksetiapkemungkinan.
- Simbolrangkaianuntukmenjelaskanrangkaian
digital.
- Persamaanfungsi
2.2 OperasiLogikaDasardalamAljabar Boolean
- OperasiLogika
NOT. Fungsi NOT adalahuntukmembaliksebuahvariabelbiner,
misalsepertijikamasukannya 0, makakeluarannyaadalah 1. Operasi NOT
jugadisebutsebagaiOperasi Invers. Operasi Invers adalahoperasi yang
mengubahlogika 1 menjadi 0.
Operasilogika
NOT ( Invers )
Operasimerubahlogika 1 ke
0 dansebaliknyaà x = x’
Tabel Operasi NOT Simbol
  X |
X’
|
    0 |
1
|
|
1
|
0
|
·
OperasiLogika AND. Fungsi AND ialahuntukmenghubungkan paling sedikit 2
masukanvariabeldandapatlebihvariabelmasukannyamulai x0, x1
sampaixndansatuvariabelkeluaran y. Variabelkeluaranakanberlogika 1
hanyajikasemuamasukannya x0, x1 sampaixndalamkeadaan 1.
Operasi
logika AND
¨
Operasi antara dua variabel (A,B)
¨
Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika
kedua variabel tersebut berlogika 1
Simbol Tabel operasi AND
A B
A . B A B A . B
A A . B 0 0 0
0 0 0 0
0
1 0 0 0 1
0 1 0
0 0 1 0
0
B 1 1 1 1 1 1 1
- OperasiLogika
OR. Fungsi OR ialahmenghubungkan paling
sedikit 2 masukanvariabeldandapatlebihvariabelmasukannyamulai x0, x1
sampaixndansatuvariabelkeluaran y. Variabelkeluaranakanberlogika 0
hanyajikasemuamasukannya x0, x1 sampaixndalamkeadaan 0.
Operasilogika
OR
Operasiantara
2 variabel (A,B)
Operasiiniakanmenghasilkanlogika
0, jikakeduavariabeltersebutberlogika 0.
Simbol
·
Operasilogika
EXNOR
Operasiiniakanmenghasilkankeluaran
‘1’ jikajumlahmasukan yang bernilai ‘1’ berjumlahgenapatautidakadasamasekali.
Simbol TabelOperasi EXNOR TabelOperasi EXNOR
 |
A Y A B A+B A B A
+ B
0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
B
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1
1
DALIL BOOLEAN
;
1.
X=0 ATAU X=1
2.
0 . 0 = 0
3.
1 + 1 = 1
4.
0 + 0 = 0
5.
1 . 1 = 1
6.
1 . 0 = 0 . 1 = 0
7.
1 + 0 = 0 + 1 = 0
TEOREMA
BOOLEAN
|
1.
HK. KOMUTATIF
A + B = B +
A
A . B = B
. A
|
6.
HK. IDENTITAS
A + A = A
A . A = A
|
|
2.
HK. ASSOSIATIF
(A+B)+C =
A+(B+C)
(A.B) . C =
A . (B.C)
|
7.
0 + A = A
----- 1. A = A
1 + A = 1
----- 0 . A = 0
|
|
3.
HK. DISTRIBUTIF
A . (B+C) =
A.B + A.C
A + (B.C) =
(A+B) . (A+C)
|
8.
A’ + A = 1
A’ . A =0
|
|
4.
HK. NEGASI
( A’ ) = A’
(A’)’ = A
|
9.
A + A’ . B
= A + B
A . (A +
B)= A . B
|
|
5.
HK. ABRSORPSI
A+ A.B = A
A.(A+B) = A
|
10.
DE MORGAN’S
( A+ B
)’ = A’ . B’
( A . B
)’ = A’ + B’
|
CONTOH :
1.
A + A . B’ + A’ . B = A . ( 1 + B’ ) + A’ . B
= A . 1 + A’ . B
= A + A’ . B
= A + B
2. A
B |
X
X = (A.B)’ . B = (A’ + B’) . B
=
( A.B )’ + B’. = ( A.B )’ + 0 =
A’
A |
|||
 |
|||
B |
X
= A’.B
ATAU
A X
= A’.B B
BAB III
Hukum-HukumAljabar Boolean
3.1 Aljabar Boolean
Aljabar
Boolean merupakamrumusanmatematikauntukmenjelaskansebuahhubunganlogikaantarafungsidanpensaklaran
digital.Aljabar Boolean memiliki 2 macamnilailogika.Hanyabilanganbiner yang
terdiriatasangka 0 dan 1 maupunpernyataanrendahdantinggi.
·
Misalkanterdapat
-
Dua
operator biner: + dan×
-
Sebuah
operator uner: ’.
-
B : himpunan yang
didefinisikanpadaopeartor +, ×, dan ’
-
0
dan 1 adalahduaelemen yang berbedadariB.
Tupel
(B,
+, ×, ’)
disebutaljabar Booleanjikauntuksetiapa, b, cÎBberlakuaksioma-aksiomaataupostulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a +
bÎB
(ii)
a×bÎB
2. Identitas: (i)
a + 0 = a
(ii)
a× 1 = a
3. Komutatif: (i)
a + b = b + a
(ii) a×b = b
. a
4. Distributif: (i)
a× (b
+ c) = (a×b) + (a×c)
(ii) a +
(b×c) = (a + b) × (a
+ c)
5. Komplemen[1]: (i) a +
a’ = 1
(ii) a×a’ = 0
- Untukmempunyaisebuahaljabar
Boolean, harusdiperlihatkan:
1. Elemen-elemenhimpunanB,
2. Kaidahoperasiuntuk operator binerdan
operator uner,
3. Memenuhipostulat Huntington.
3.2
Aljabar
Boolean dua-nilai:
-
B
= {0, 1}
-
operator biner, + dan×
-
operator uner, ’
-
Kaidahuntuk operator binerdan operator
uner:
-
|
A
|
B
|
a × b
|
|
A
|
B
|
a + b
|
|
A
|
a’
|
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
|
|
|
Cekapakahmemenuhipostulat Huntington:
1.
Closure
: jelasberlaku
2.
Identitas: jelasberlakukarenadaritabeldapatkitalihatbahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 ×0 = 0 ×
1 = 0
3.
Komutatif: jelasberlakudenganmelihatsimetritabel
operator biner.
4.
Distributif: (i) a×
(b + c) = (a×b) + (a×c) dapatditunjukkanbenardaritabel operator
biner di atasdenganmembentuktabelkebenaran:
|
a
|
B
|
c
|
b + c
|
a× (b + c)
|
a×b
|
a×c
|
(a×b) + (a×c)
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
(ii) Hukumdistributifa +
(b×c) = (a
+ b) × (a + c)
dapatditunjukkanbenardenganmembuattabelkebenarandengancara yang samaseperti
(i).
5.
Komplemen: jelasberlakukarenaTabel 7.3
memperlihatkanbahwa:
(i) a + a‘
= 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a×a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan
1 × 1’ = 1 × 0 =
0
Karenakelimapostulat
Huntington dipenuhi, makaterbuktibahwaB = {0, 1} bersama-samadengan
operator biner + dan×
operator komplemen‘ merupakanaljabar Boolean.
3.3
Ekspresi Boolean
- Misalkan (B, +, ×,
’) adalahsebuahaljabar Boolean. Suatuekspresi Boolean dalam (B, +, ×,
’) adalah:
(i) setiapelemen di dalamB,
(ii) setiappeubah,
(iii) jikae1dane2adalahekspresi
Boolean, makae1 + e2, e1×e2,
e1’ adalahekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a×b
a’× (b
+ c)
a×b’
+ a ×b
×c’
+ b’, dansebagainya
DAFTAR FUSTAKA
No comments:
Post a Comment